Lentilles minces et miroirs sphriques    
1. La rfraction

Loi de Descartes :  n1 sin i = n2 sin r      ( cf : rfraction )

2. Les lentilles minces dans les conditions de Gauss

  2.1 Schma du dioptre

p = OA         ( p < 0 )

p' = OA'        ( p' > 0 )

R = OC         ( R > 0 )

  2.2 relation du dioptre

sin α  =  h/R      
 n1 sin i = n2 sin r
tan ( i -α ) = - h/p     ( p < 0 )
tan ( α - r ) = h/p'

Approximations de Gauss : les angles sont petits donc h est petit  et O est trs proche du dioptre ( rayons paraxiaux ). 
En pratique on impose h<R/10

On a alors sin ε = tan ε = ε
donc
α  =  h/R
 n1 i  =  n2 r
 i - α  = - h/p
α - r  =  h/p'
donc
 i  =  α  - h/p  =  h/R - h/p
 r  =  α - h/p' =  h/R - h/p'
 n1 i  =  nr  =  n1 ( h/R - h/p )  =  n2 ( h/R  -  h/p' )
donc   n2 h/p' -  n1 h/p=  ( n2 - n1 )h/R  donc

        n2 /p' - n1/p   =  ( n2 - n1 ) /R       Relation de conjugaison des dioptres.

La relation ne dpend pas de h donc tous les rayons partant de A convergent en A'. Le dioptre est donc stigmatique dans les conditions de Gauss.

 2.3  Relation des lentilles minces



Lentille mince : O est trs proche des surfaces des deux dioptres.
Air : indice = 1
Lentille: indice = n
1er dioptre ( n1 = 1, n2 = n ) : 
            n /p1  =  ( n -1) /R1 +  1/p          ( R1 > 0 )
2me dioptre ( n1 = n, n2 = 1 )  :  
           1 /p'  =  (1 - n ) / R +  n/p1   ( R2  < 0 ) 
donc    1/p' =  ( n - 1 ) /R1  -  ( n - 1 ) /R2  +  1 /p 

            1/p'  -  1 /p  =  ( n - 1 )( 1 /R1  - 1 /R )  = 1/f ' = C        Loi de Descartes pour les lentilles minces

 2.4  Distance focale

La distance focale f ' = OF ' est la distance entre le centre de la lentille et l'endroit o se forme l'image d'un objet plac l'infini
Si p est infini, 1 /p'  =  ( n - 1 )( 1 /R1  - 1 /R )  = 1/f ' = C        

       1/f ' = C   = ( n - 1 )( 1 /R1  - 1 /R

 Lentilles convexes : R1 > 0  et  R2 < 0  ou  1/R1 > 1/R2    donc  f ' > 0  et  C = 1/f ' > 0     ( F ' droite du miroir )
 Lentilles concaves : R1 < 0  et  R2 > 0  ou  1 /R1 < 1 /R2    donc f ' < 0  et  C = 1/f ' < 0     ( F ' gauche du miroir )

 2.5  Formule de conjugaison de Newton

B'A'/AB = FO/AF
B'A'/AB = F'A'/OF'
FO/AF = F'A'/OF'
FA F'A' = OF OF' = - f

FA F'A' =  - f           Loi de Newton pour les lentilles minces

B'A'/AB = OA'/AO 

γ = A'B'/AB = OA'/OA = p'/p      Formule du grandissement 

2.6  Les lentilles sphriques hors conditions de Gauss

On tudie la distance focale f = OF d'une lentille plan-convexe.

f0 = (n-1)R

OF = f
L' = R cos i = ( R - h)1/2
d = R - L' = R - ( R - h)1/2
f ' = f  + d = L cos α
f ' = f  + R - ( R - h)1/2
L = ( f ' + h )1/2

n sin i = sin( i + α ) = sin i cos α + sinα cos i
n = cosα + sinα/tan i  = f '/L + h/L  L'/h = f '/L + L'/L = ( f ' + L' )/L
L = ( f ' + L' )/n  donc  L = ( f ' + L' + 2 f 'L' )/n   donc  f ' +  h = ( f ' + L' + 2 f 'L' )/n
( n -1 ) f ' + 2 f 'L' + nh - L' = 0
f ' = ( L' + ( L' - ( n -1 ) ( nh - L' ))1/2 )/( n -1 )      ( L'autre signe n'a pas de signification physique )
f ' = ( L' + ( L' - n4h + nL' - L' + nh )1/2)/( n -1 ) 
f ' = ( L' + ( - n4h + nL' + nh )1/2)/( n -1 ) = ( L' + n ( R - nh )1/2)/( n -1 ) = ( ( R - h)1/2 + n ( R - nh )1/2)/( n -1 ) 
f  + R - ( R - h)1/2 = ((R - h)1/2 + n ( R - nh )1/2)/( n -1 ) 
f  = ((R - h)1/2 + n ( R - nh )1/2)/( n -1 ) - R + ( R - h)1/2 = ( n(R - h)1/2  +  n ( R - nh )1/2)/( n -1 ) - R
f = R (n( n(1 - h/R)1/2  + (1 - nh/R)1/2)/( n -1 ) - 1) 
f = f0 (n( n(1 - h/R)1/2  + (1 - nh/R )1/2)/( n + 1 ) - n + 1)               ( f = R/(n-1)  est la distance focale de la lentille )

Courbe f/f0 = f(h/R) pour n = 1,5

f0 = R/(n-1)

f est indpendant de h pour h < 0,1R

Pour h/R = 1/n = 0,667,  fm = 0,171 f0

Valeur limite de f
f n'existe que si R - nh >= 0 donc si h/R <= 1/n  ou  sin i <= 1/n 
sin i = 1/n correspond l'angle limite de sortie du rayon de la lentille o i + α = 90
Si h/R = 1/n, on a alors fm = R( n(1 - 1/n)1/2 )/( n -1 ) - R = R n/( n -1 )1/2 - R
fm = R ( n/( n -1 )1/2 - 1 ) = f0 ( n(n-1)1/2/(n+1)1/2  -  n  + 1 )               ( f = R/(n-1)  est la distance focale de la lentille )

Valeur de f  pour les petites valeurs de h ( h/R << 1 )
f  =  ( n(R - h)1/2  +  n ( R - nh )1/2)/( n -1 ) - R =  ( nR(1 - h/R)1/2  +  nR( 1 - nh/R )1/2)/( n -1 ) - R 
f = ( nR(1 - h/2R +  nR( 1 - nh/2R ))/( n -1 ) - R = ( nR - nh/2R +  nR - n3h/2R)/( n -1 ) - R 
f  = (nR + nR - n( n + 1)h/2R  - nR + R )/( n -1 ) = ( n + 1 )R/( n -1 ) - n( n + 1)h/2R /( n -1 ) = R/( n -1 ) - nh/2R /( n -1 ) 
f = R/( n -1 ) ( 1 - nh/2R) =  f0 ( 1 - nh/2R)                ( f = R/(n-1)  est la distance focale de la lentille )

Pour que f soit suprieur 99% de f0  ( Conditions de Gauss ) il faut  nh/2R < 0,01  donc h/R < 0,02/n = 0,01 donc h/R < 0,1
On est dans les conditions de Gauss si le rayon de la zone utile ( du diaphragme ) est infrieur R/10 ou si le diamtre est infrieur f0/10 

3. Les miroirs sphriques dans les conditions de Gauss

  3.1 Schma du miroir

p = OA         ( p < 0 )

p' = OA'        ( p' < 0 )

R = OC        ( R < 0 )

 

 3.2 relation des miroirs sphriques

sin α  =  - h/R     ( R < 0 )
tan (α - i )  =  - h/p     ( p < 0 )
tan (α + i ) =  - h/p'    ( p' < 0 )

Approximations de Gauss : les angles sont petits donc h est petit  et O est trs proche de la surface du miroir ( rayons paraxiaux )
En pratique on impose h<R/10

On a alors sin ε = tan ε = ε
donc
α  =  - h/R    
α  - i  =  - h/p
α + i  =  - h/p'
donc
2 α  = - h/p - h/p' =  - 2 h/R  donc

         1/p' +  1 /p =  2 /R   = 1/f ' = C                     Loi de Descartes pour les miroirs sphriques

La relation ne dpend pas de h donc tous les rayons partant de A convergent en A'. Le miroir est donc stigmatique dans les conditions de Gauss.

  3.3 distance focale
La distance focale f ' = OF ' est la distance entre le centre du miroir et l'endroit o se forme l'image d'un objet plac l'infini
Si p est infini, 1 /p'  =  2/R  = 1/f ' = C        

         OF ' = f ' = 1/C   =  R/2

 Miroir concave :    R  < 0     donc C < 0   ( F ' gauche du miroir )
 Lentilles convexe : R  > 0     donc C > 0  ( F ' droite du miroir )

 3.4 Les miroirs sphriques hors conditions de Gauss

On tudie la distance focale f = OF d'une lentille plan-convexe.

OF = f
L' = R cos i = ( R - h)1/2
d = R - L' = R - ( R - h)1/2
f ' = f  - d 
f ' = f  - R + ( R - h)1/2

f ' = h/tan 2i = h cos 2i/sin 2i = h cos 2i/( 2 sin i cos i ) = h f '/(f ' + h )1/2 /( 2 h/R L'/R ) 
h/(f ' + h )1/2 = 2 hL'/R
(f ' + h )1/2 = R/(2L') donc L' = R/(2 (f ' + h )1/2)
L' = R4/(4 (f ' + h ))  et  L' = ( R - h )
R -  h = R4/(4 (f ' + h ))  donc f ' + h = R4/(4(R -  h)) = R/(4(1 -  h/R))
f ' = R(1/(4(1 -  h/R)) - h/R) = R(1 -  4 h/R(1 - h/R)/(4(1 - h/R)) = R(1 - 2h/R)/(4(1 - h/R))
f ' = R(1 - 2h/R)/(2(1 - h/R)1/2)               ( L'autre signe n'a pas de signification physique )
D'autre part, f ' = f - R + ( R - h)1/2  donc 
f = R(1 - 2h/R)/(2(1 - h/R)1/2) + R - (R - h)1/2 = R (1 - (1 - h/R)1/2  (1 - 2h/R)/(2(1 - h/R)1/2)) 
f = R(2(1 - h/R)1/2  - 1)/(2(1 - h/R)1/2 ) = R(1 - 1/(2(1 - h/R)1/2 ))
f = R(1 - 0,5/(1 - h/R)1/2) = f0 (2 - 1/(1 - h/R)1/2)            ( f= R/2   est la distance focale du miroir )

f0 = R/2

f est indpendant de h pour h < 0,15 R

Pour h/R = sin 60 = 0,866, f = 0

Valeur de f  pour les petites valeurs de h ( h/R << 1 )
f  =  R(1 - 1/(2(1 - h/R)1/2 ))
f = R(1 - (1 + h/2R)/2) = R(1/2 - h/R/4))
f = 0,5 R(1 - h/2R) = f0 (1 - h/2R)      ( f= R/2  est la distance focale du miroir )

Pour que f soit suprieur 99% de f0  ( Conditions de Gauss ) il faut h/2R < 0,01  donc h/R < 0,02  donc h/R < 0,14
On est dans les conditions de Gauss si le rayon de la zone utile ( du diaphragme ) est infrieur R/10 ou si le diamtre est infrieur 4f0/10  environ  f0/2.
Pour un tlescope de distance focale de 1m, cela correspond un miroir de 40 cm de diamtre. On obtient alors une image d'un point constitue d'un lger halo de 2 mm de rayon. C'est peu apparent mais inacceptable pour des images de grande rsolution. C'est pourquoi on utilise des miroirs paraboliques qui sont parfaitement stigmatiques pour les tlescopes astronomiques.

4. Pouvoir de rsolution d'un instrument d'optique